wilson定理（探究Wilson定理的正确性）

探究Wilson定理的正确性

Wilson定理是一个基本且有趣的数学定理，可以用来判断一个数是不是质数。本文将探究Wilson定理的正确性。

什么是Wilson定理？

Wilson定理简单地说就是：如果一个正整数n是质数，那么(n-1)! + 1能够被n整除。反之，如果(n-1)! + 1能被n整除，那么n不一定是质数。

Wilson定理的形式很简单，但它实际上是一个非常强有力的结果。因为它不仅可以用来判断一个数是不是质数，还可以应用于其他数学问题，如离散对数问题。

但是，我们不能单纯地停留在草率地记住定理这一层次，更应该去理解它的正确性。

探究Wilson定理的正确性

我们可以通过构造证明来探究Wilson定理的正确性。首先，假设n是一个质数，我们需要证明(n-1)! + 1能够被n整除。我们可以将证明分为两步：

1.对于正整数a，如果1 ≤ a ≤ n-1且a不是n的倍数，则存在一个唯一的整数b，1≤b≤n-1，使得ab ≡ 1 (mod n)。

2.考虑剩余系1,2,3,...,(n-1)/2,-(n-1)/2,...,-3,-2，其中每个数a与唯一的整数b相对应，满足ab ≡ 1 (mod n)。因此，每个相对应的a和b都可以成对地相乘，得到的积为1。

观察第二步的，我们可以发现，剩余类的部分是被两两配对相乘的，而且唯一的无法配对的元素是1和-1。因为n是质数，所以只有当a = 1或a = n-1时，ab ≡ 1 (mod n)。

因此，1和-1都会出现在剩余类中，它们的积为-1。而(n-1)的阶乘包含了每个剩余类，因此(n-1)! ≡ (n-1)(-1) (mod n)。因为n是质数，所以n-1和-1互质，所以能够在模n的意义下将它们直接相乘得到-1。即(n-1)! + 1 ≡ 0 (mod n)，因此(n-1)! + 1能够被n整除。

反过来，如果(n-1)! + 1能被n整除，但n不是质数，那么n=ab，其中a和b都是大于1且小于n的整数。但是，从(n-1)! ≡ -1 (mod n)和ab=n中可以得到(a-1)(b-1) ≡ -1 (mod n)，这就与第一步的假设矛盾。因此，只有当n是质数时，(n-1)! + 1能够被n整除。

总结

本文探究了Wilson定理的正确性，并给出了构造证明。Wilson定理是一个基本的数学定理，可以用来判断一个数是不是质数，同时还有其他应用。理解和掌握定理的正确性对于数学学习和研究都非常重要。